Espace-Temps Fractal

Espace-Temps Fractal

La nouvelle théorie de l’Univers

 

Le monde sourira-t-il à l’audacieux ? L’astrophysicien Laurent Nottale a entrepris de bouleverser la physique et la cosmologie à la lumière des mathématiques fractales. Une nouvelle vision de l’Univers où, de l’infiniment petit à l’infiniment grand, les phénomènes de la nature dépendent de l’échelle à laquelle on les observe. Eparpillées sur son bureau de l’observatoire de Meudon, des représentations en papier de fractals en 3D, qu’il a plié et collé lui-même, voisinent avec des articles originaux de Bohr et d’Einstein, et un exemplaire de son ouvrage, par qui la révolution arrive : Fractal space-time and microphysics. Une œuvre complexe, accessible seulement à ceux qui jonglent avec les équations de la relativité et de la mécanique quantique.

En attendant le verdict de ses pairs, manifestement impressionnés par l’ampleur du sujet abordé, mais qui demeurent pour l’instant circonspects et silencieux, Laurent Nottale continue ses recherches théoriques. A quarante et un ans, ce directeur de recherche au CNRS, astronome au Département d’astrophysique extragalactique et de cosmologie de l’observatoire de Meudon, a déjà derrière lui une solide carrière et quelques réussites retentissantes : en 1976, il publie dans Nature la première mise en évidence d’un effet statistique de mirage gravitationnel et, en 1987, ses travaux théoriques sur les développements de l’optique gravitationnelle sont couronnés par le prix Digital de la Société française des spécialistes d’astronomie. Plus près de nous, il se lance dans la vulgarisation scientifique et publie L’Univers et la lumière. Rencontre avec un géomètre tranquille, qui a l’ambition de réaliser le vieux rêve d’unification d’Albert Einstein.

                

Ciel et Espace : Vous proposez à la communauté scientifique une nouvelle vision du monde, fondée sur les mathématiques fractales. Qu’est-ce qui, dans la cosmologie actuelle, vous dérangeait ?

Laurent Nottale : Je me pose des questions sur la cosmologie depuis que j’ai commencé à suivre la voie de la recherche, au milieu des années 70. Mais en réalité, c’est en m’interrogeant sur la mécanique quantique que j’ai été amené que j’ai été amené à me lancer dans mes travaux actuels. On sait bien aujourd’hui comment celle-ci et la cosmologie sont liées, via le big bang par exemple : l’Univers primordial a des propriétés quantiques. Au départ, tout est parti d’une insatisfaction : la théorie quantique est en effet fondée sur des axiomes incompris, et qui paraissent absurdes. On y voit apparaître des grandeurs indéterministes, qui n’ont pas l’air d’appartenir à l’espace-temps…

C&E : D’où la réputation un peu mystérieuse et « magique » de la mécanique quantique ?

L. N. : Oui, de ce point de vue au moins, je crois que tous les physiciens admettent que la mécanique quantique n’est pas satisfaisante. Certains chercheurs pensent que l’on en restera là : ils considèrent qu’une compréhension intuitive de l’infiniment petit demeurera inaccessible à l’esprit humain, ce qui s’y passe étant radicalement différent de notre propre monde. D’autres chercheurs, en revanche, cherchent à dépasser ces difficultés de conceptualisation. Ce qui augmente encore notre frustration, c’est la comparaison de la mécanique quantique avec la relativité générale. La relativité, en effet, est une théorie très simple dans ses fondements : elle nous dit que tous les systèmes de référence sont valables pour l’expression des lois de la physique. Donc, l’Univers est logique, il est soumis à des lois, et celles-ci sont cohérentes. Sans ce principe de relativité, l’Univers serait anarchique. La relativité permet de trouver une solution générale au problème posé par le physicien : trouver les équations de la physique qui sont covariantes, autrement dit qui gardent la même forme, dans les changements de systèmes de coordonnées. Cette solution générale, dans le cas des lois du mouvement, est donnée par les équations d’Einstein.

A côté de cela, la mécanique quantique nous propose des lois de base parfaitement incompréhensibles, mais qui donnent de très bons résultats !

C&E : Quelle était la position d’Einstein, vis-à-vis du statut indéterministe de la mécanique quantique ?

L. N. : Apparemment, Einstein, après avoir été tenté d’attaquer la théorie quantique, a accepté l’indéterminisme des trajectoires des particules et a admis l’interprétation statistique de Bohr. Mais, et c’est là le point important du débat, lorsque Einstein disait « Dieu ne joue pas aux dés », il voulait dire précisément qu’il ne peut être question que les lois fondamentales de la nature soient de nature statistique. Cela ne signifie pas, bien sûr, que l’on ne se retrouve pas dans des situations où la statistique devient nécessaire, incontournable. D’un côté, Bohr ne voulait pas revenir sur l’indéterminisme ou sur les relations d’Heisenberg, qui stipulent par exemple que si l’on sait déterminer avec précision la position d’une particule, alors qu’il est impossible de déterminer précisément sa vitesse. De l’autre, Einstein voulait une théorie qui expliquât pourquoi l’approche probabiliste est inévitable…

C&E : De quelle façon peut-on sortir de cette impasse ?

L.N. : De nombreux chercheurs ont tenté de s’attaquer de front à la mécanique quantique. Il m’a semblé que, soixante-dix ans après, ce n’était pas cela qu’il fallait faire, et que s’il y avait une nouvelle théorie à élaborer, ce n’était pas en détruisant l’aspect quantique du monde, mais au contraire en tentant de le retrouver complètement, avec toutes ses propriétés, et si possible en débarrassant la théorie de tout ce qui semble magique. Pour compléter la mécanique quantique, nous devons trouver une théorie plus profonde et plus fondamentale, dont les axiomes de la mécanique quantique seraient dérivés.

C&E : C’est cette théorie que vous proposez aujourd’hui ?

L.N. : C’est effectivement ce que j’ai tenté de faire : élaborer une théorie d’un niveau plus profond, où les probabilités deviennent nécessaires à partir d’un substrat où elles n’interviennent pas. Il me semble qu’il manque à la théorie quantique deux choses : l’espace-temps, et un principe fondamental pour décrire, justement, l’espace-temps quantique. Actuellement, la théorie utilise l’espace-temps de Minkowski, qui est plat, absolu. C’est aussi l’espace-temps de la relativité restreinte. Cette situation est intenable : en effet, l’un des grands résultats de la physique, depuis Leibniz, Huygens, Mach et ensuite Einstein, est justement qu’un espace-temps absolu n’a pas de sens. Les caractéristiques physiques de l’espace-temps doivent être définies en fonction des objets qu’il contient. Dans le cas contraire, on régresse vers une vision pré-relativiste de l’Univers.

C&E : Vous admettez, d’un autre côté, que les propriétés quantiques du monde sont universelles…

L. N. : Oui, la relation d’Heisenberg est universelle, la nature ondulatoire est universelle : pas seulement celle des photons ou des particules élémentaires ; l’atome aussi a une nature ondulatoire ! Prenez les molécules : elles peuvent interférer ! Leur nature aussi est ondulatoire. Il s’agit bien de propriétés quantiques fondamentales et universelles. L’espace-temps lui-même devrait donc avoir des propriétés quantiques…

C&E : Il y a déjà eu des tentatives de quantification de l’espace-temps, Wheeler, par exemple, propose une topologie fluctuante de l’espace-temps…

L. N. : C’est vrai, mais il s’agit d’approches complètement différentes de la mienne. Ces tentatives visent à changer la nature de l’espace-temps à l’échelle de Planck, c’est-à-dire vers 10-33 cm. Mes travaux concernent l’échelle quantique elle-même, qui apparaît, par exemple, à l’intérieur d’un atome vers 0,1 nm, soit seulement 10-10 cm. Une dimension aisément photographiable aujourd’hui avec un microscope à effet tunnel… En fait, les effets quantiques existent même à plus grande échelle : la supraconductivité à basse température de certains matériaux, par exemple, découle de la nature quantique de ces matériaux à l’échelle macroscopique.

C&E : Quelle est donc votre approche de l’espace-temps ?

L.N. : La question qui s’est posée à moi est la suivante : comment introduire un concept nouveau, qui expliquerait les propriétés quantiques des objets qu’il contient ? Ce nouvel espace-temps ne peut pas être celui de la relativité générale : l’espace-temps courbe de Riemann utilisé par Einstein ne saurait donner lieu à un comportement quantique…

Néanmoins, la théorie d’Einstein peut servir de guide dans une telle construction. La gravitation résulte de la courbure de l’espace-temps, qui est universelle. De quelles propriétés de l’espace-temps pourraient résulter les lois quantiques, elles aussi universelles ? De ce point de vue, si une unification doit se faire, c’est plutôt entre gravitation et théorie quantique qu’entre gravitation et d’autres champs.

 

C&E : C’est le vieux rêve d’Einstein. Quelle est pour vous la grande force de la relativité générale ?

L. N. : Dans la relativité générale, la notion de courbure d’espace-temps a pris le pas sur les notions de forces, de potentiels, de champs… C’est en cela que la relativité est une théorie profonde, ultime : il ne s’agit pas d’une théorie du contenu de l’Univers, mais d’une théorie du cadre lui-même. Il me fallait trouver dans le domaine quantique ce qui pouvait être introduit dans l’espace-temps.

C&E : Comment changer encore ce cadre conceptuel, pour y introduire les axiomes quantiques ?

L. N. : J’y viens. Habituellement, dans la théorie quantique, on admet que, lorsque l’on fait des mesures, le résultat de celles-ci dépend de l’interaction entre l’appareil de mesure et l’objet observé. En fait, ce que les relations d’incertitude d’Heisenberg nous disent, c’est que le résultat de ces mesures d’énergie et d’impulsion dépendent de la résolution spatio-temporelle à laquelle elles ont faites. Or, l’universalité de ces relations est indubitable : elles résument précisément, avec celles de de Broglie, l’essence du comportement quantique. Je me suis alors demandé si ce n’était pas l’espace-temps lui-même qui dépendait de l’échelle. Dans l’affirmative, une mesure quantique ne viendrait faire rien d’autre que de mettre en évidence cette dépendance d’échelle universelle de l’espace-temps !

Je me suis alors penché sur des géométries où l’objet de base dépendrait de l’échelle à laquelle on l’observe. Or, de tels objets existent : ce sont les fractals, introduits par Mandelbrot en 1975. Je me suis donc attelé à l’élaboration d’une théorie de l’espace-temps fractal…

                        

C&E : Ce qui nous amène à votre principe de relativité d’échelle. Qu’est-ce que cela apporte de nouveau, un espace-temps fractal ?

L. N. : La longueur d’un fractal, celle de la côte de Bretagne, pour reprendre un exemple célèbre, ou sa surface, son volume, etc., change avec le niveau de résolution auquel on l’étudie. C’est cette notion que j’essai d’introduire dans ma théorie. Dans un espace fractal, les géodésiques (les trajectoires les plus courtes suivies par les particules) sont des courbes non différentiables, c’est-à-dire qui n’ont pas de pente, pas de tangente. Elles sont en nombre infini. Or, dans une théorie du type de la relativité générale, la prédiction du comportement futur des particules se fait en énonçant précisément qu’elles suivent une géodésique de l’espace-temps. Dans ma théorie, il n’y a plus une géodésique, mais une infinité. Le passage aux probabilités devient donc nécessaire, mais à partir d’un concept (l’espace-temps fractal) qui, lui, n’est pas probabiliste. Cette théorie permet ainsi de démontrer les différents axiomes de la mécanique quantique à partir du caractère fractal de l’espace-temps…

C&E : Concrètement, comment se matérialise cet aspect fractal de l’espace-temps dans votre théorie ?

L. N. : Je postule que l’échelle doit être introduite dans la définition des systèmes de coordonnées eux-mêmes. Ceux-ci possèdent un « état d’échelle », caractérisé par la résolution, de même qu’ils possèdent un état de mouvement, mesuré par la vitesse, l’accélération… Le principe de relativité d’échelle énonce alors que les lois de la nature doivent s’appliquer quel que soit l’état d’échelle du système de coordonnées. Je propose donc d’introduire explicitement l’échelle à laquelle on observe dans les équations fondamentales de la physique. Le formalisme mathématique de ce principe de relativité d’échelle ressemble à celui de la relativité restreinte : la transformation de Lorentz. Simplement, dans ma théorie, les lois de transformations entre les échelles sont fractales.

C&E : Le monde est donc différent à des échelles différentes ?

L. N. : Oui, on ne peut plus se contenter de dire « je vais étudier le monde à la plus petite échelle possible pour le comprendre globalement ». Ce projet cartésien, réductionniste, est, à mon sens, vain. Ma proposition consiste à élaborer un nouveau cadre de pensée, prenant en compte toutes les échelles possibles dans l’Univers et les transformations qui les relient.

                     

C&E : Mais ne vous retrouvez-vous pas alors avec un nombre infini d’échelles ?

L. N. : Justement non ! Dans le domaine microscopique, le résultat auquel j’aboutis est le suivant : même en « zoomant » infiniment, comme dans le film Les Puissances de 10, pour tenter d’atteindre un hypothétique infiniment petit, vous vous heurterez toujours, asymptotiquement, à une limite insensible à ces dilatations, qui est l’échelle de Planck : 10-33 cm.

C&E : Voulez-vous dire que cette échelle a le même statut que la vitesse de la lumière dans la relativité ? C’est-à-dire qu’elle est une limite absolue, qu’on atteint au prix d’une dépense d’énergie infinie, c’est-à-dire jamais ?

L. N. : Oui, cette grandeur est la plus petite possible. Au-delà, il n’y a plus rien : une longueur de 10-50 cm ? Par exemple, n’existe pas. De même que la vitesse de la lumière est invariante sous les transformations du mouvement (elle reste inchangée quand on lui ajoute une vitesse), l’échelle de Planck serait invariante sous les transformations d’échelle (c’est-à-dire les contractions et les dilatations). L’introduction d’une telle échelle limite, indépassable, permet de résoudre les problèmes d’infini encore incompris en théorie quantique, ceux qui concernent les masses et les charges des particules. Elle permet aussi la compréhension théorique de l’origine des masses des particules.

C&E : Votre travail s’étend aussi de l’autre côté, vers l’infiniment grand…

L. N. : En effet, on retrouve la même problématique en cosmologie. Prenez par exemple la distribution des galaxies dans l’Univers : les observations montrent qu’elle est fractale ! Mais personne ne sait pourquoi… En cosmologie, on considère les galaxies comme de simples points, puis on applique les équations d’Einstein pour voir comment se distribuent ces points. Mais la très grande découverte des années 80, c’est que l’Univers reste structuré à toutes les échelles que l’on a pu arpenter. On ignore totalement où s’arrête cette architecture fractale de l’Univers… La question profonde qui se pose à nous est de savoir pourquoi cette loi de distribution est-elle universelle. Pourquoi tous les objets astronomiques, galaxies, amas, superamas, sont-ils caractérisés par la même loi fractale ?

C&E : Cela signifie-t-il que l’Univers n’est homogène et isotrope à aucune échelle ?

L. N. : Si, il l’est probablement, mais pas avant une échelle de l’ordre du gigaparsec, et personne ne comprend comment se passe la transition de l’inhomogénéité à l’uniformité. A mon avis, il faut considérer cette distribution fractale comme une structure fondamentale, universelle. Il y en a d’autres : l’expansion, par exemple…

C&E : Mais justement, votre théorie de la relativité d’échelle apporte-t-elle une perspective nouvelle sur cette dilatation de l’espace-temps que constitue l’expansion ?

L. N. : L’expansion de l’Univers pose un problème crucial et qui, curieusement, n’est abordé nulle part, par aucun physicien. Où se trouve la transition entre les échelles de l’Univers en expansion et celles – la référence à cette expansion justement – qui sont statiques ? Personne n’en parle jamais ! Par exemple, si les atomes étaient eux-mêmes soumis à l’expansion de l’Univers, on ne verrait plus de redshifts cosmologiques, tout simplement parce qu’il y aurait le même facteur d’échelle entre les grandes structures et les petites. Nous serions nous-même en expansion, mais nous ne le verrions et ne le saurions pas. Ce n’est évidemment pas le cas, puisque, cette expansion, on l’observe.

 

C&E : Alors, d’après vous, où se trouve cette transition statique-non statique ?

L. N. : Il est clair que les galaxies sont encore statiques. Elles sont déterminées par leur potentiel gravitationnel local et ne sont pas en expansion. En revanche, on sait, depuis les travaux de Gérard de Vaucouleurs, que l’Amas local, lui, est déjà en expansion. La transition se trouve donc, en ce qui concerne les galaxies, entre les deux, quelque part à l’échelle des halos galactiques, là où la matière noire apparaît… Pour d’autres constituants cosmologiques, l’échelle sera différente : elle est relative aux objets considérés.

C&E : Quel lien y a-t-il avec la matière noire ?

L.N. : Je n’ai pas encore de réponse à cette question. En revanche, je note qu’il y a aujourd’hui des connexions entre des domaines de la physique qui semblaient auparavant disjoints. Avec ma théorie, je fais des prédictions sur la distribution des galaxies à très grande échelle ; elles pourront être infirmées ou corroborées lorsque les catalogues de galaxies seront plus étendus.

C&E : Dans le domaine microscopique, vous aboutissez à une limite asymptotique, l’échelle de Planck. Qu’en est-il au niveau de l’Univers dans son ensemble ?

L. N. : J’aboutis aussi à une limite fondamentale, définie par la constante cosmologique, celle-là même qu’Albert Einstein avait introduite dans ses équations afin de justifier d’un Univers statique. Cette constante – l’inverse du carré d’une longueur – est un terme de courbure dans les équations d’Einstein. Cette longueur, dans ma théorie, est, comme la dimension de Planck, invariante sous les dilatations, de même que la vitesse de la lumière est invariante sous les transformations de vitesse. Cette dimension invariante, ce n’est sans doute pas un hasard, est égale à environ trente milliards d’années-lumière : la taille de l’Univers. Autrement dit, l’Univers devient invariant lorsqu’il est vu à sa propre résolution… Par ailleurs, l’existence de cette échelle invariante fournit une explication pour les coïncidences des grands nombres de Dirac, et permet de prédire les dimensions fractales observées pour les galaxies et les grandes structures.

                                

C&E : Quelles sont les implications de votre théorie sur le modèle du big bang ?

L. N. : La théorie du big bang utilise la mécanique quantique dès que l’on se rapproche du temps zéro. Ma théorie change nécessairement le big bang dans la mesure où elle change le cadre conceptuel de la mécanique quantique. En particulier, mon approche permet de faire l’économie de l’inflation. Cette phase d’expansion ultra-rapide de l’Univers, proposé par Guth et Linde, pour expliquer le phénomène dit de « causalité » de l’Univers, ne me satisfait pas du tout. L’inflation est une solution ad hoc, qui fonctionne pour l’Univers actuel, disons vieux de quinze milliards d’années ; en revanche, elle ne marche pas pour tous les modèles d’Univers. Si l’on se projette dans un futur très lointain, la théorie de l’inflation ne fonctionne plus ! Il s’agit d’une théorie bâtie pour nous, ici et maintenant, mais en aucun cas d’un phénomène de portée universelle : c’est pourquoi elle ne me satisfait pas…

Dans mon propre modèle cosmologique, toute la structure de l’Univers, lorsque l’on se rapproche de l’échelle de Planck, est complètement changée, le temps de Planck, 5,4.10-44 s joue un rôle nouveau : celui de point zéro. Il n’est donc plus question d’aller à t=0 proprement dit. L’Univers évolue asymptotiquement à partir de l’échelle de Planck, résolution à laquelle tous les points de l’Univers deviennent indistinguables, ce qui résout définitivement le problème de causalité.

C&E : Considérez-vous ce travail sur les fractals et la physique comme achevé ?

L. N. : Pas du tout ! Il s’agit d’une théorie en cours de construction. Du point de vue cosmologique, ces résultats sont très préliminaires. En fait, un pan entier de la théorie de la relativité d’échelle reste à écrire. Cet aspect cosmologique pourrait faire l’objet du deuxième tome de mon livre. De fait, je travaille actuellement à une généralisation de la théorie qui inclurait les champs…

                  

C&E : Une théorie du tout ?

L. N. : Sûrement pas ! Je pense que cela n’a pas de sens ! A la fin du siècle dernier, certains physiciens pensaient déjà que la physique était terminée et qu’une théorie complète du monde était imminente. Qu’est-ce que cette physique classique (Newton et Maxwell) représente par rapport à la physique d’aujourd’hui ? Une goutte d’eau dans la mer… Il en est certainement de même pour la physique actuelle par rapport à celle du futur. Je ne crois pas qu’une « théorie du tout » ait un sens… et c’est tant mieux pour les physiciens.

Zoom sur un fractal

Les fractals sont des objets mathématiques qui ont été introduits par Benoît Mandelbrot en 1975. Dans un espace fractal, les géodésiques, en nombre infini, sont des courbes non différenciables : on ne peut leur attribuer une tangente. A chaque modification d’échelle, la courbe fractale change complètement d’aspect. Selon les lois de transformation d’échelle de Laurent Nottale, la limite absolue du changement d’échelle est la dimension de Planck : 10-33 cm.